Opérateurs autoadjoints - hermitique
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Définition
\(\triangleright\) Définition d'un opérateur autoadjoint ou hermitique
Un opérateur autoadjoint ou hermitique est un opérateur \(\hat T\) vérifiant:
$$\mapsto{{\hat T=\hat T^+}}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Proposition sur le spectre d'opérateurs d'un opérateur autoadjoint
- Si \(\hat T\) est un opérateur autoadjoint \((\hat T^+=\hat T)\), alors la valeur propre \(\lambda\) est réelle \(\lambda \in\Bbb R\)
- Si \(\hat T\) est un opérateur autoadjoint et si \(\hat T\ket{\Psi_1}=\lambda_1\ket{\Psi_1}\) et \(\hat T\ket{\Psi_2}=\lambda_2\ket{\Psi_2}\) avec \(\lambda_1\neq\lambda_2\) alors:
$${{\langle\Psi_1\ket{\Psi_2}=0}}$$
Par consequent: les vecteurs propres de 2 valeurs propres différentes sont orthogonaux
- On écrit $$\bar\lambda\langle\Psi\ket{\Psi}=\langle\lambda\Psi\ket{\Psi}=\langle\hat T\Psi\ket{\Psi}$$
$$=\langle\Psi\ket{\hat T^+}=\langle\Psi\ket{\hat T\Psi}=\lambda\langle\Psi\ket{\Psi}$$
Donc \(\lambda=\bar\lambda\)
- On a $$\langle\Psi_2|\hat T\ket{\Psi_1}=\lambda_1\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=\lambda_2\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}$$
Donc \((\lambda_1-\lambda_2)\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=0\) avec \((\lambda_1-\lambda_2)\neq 0\) donc \(\langle\Psi_2\ket{\Psi_1}=0\)
Remarques
Les opérateurs \(\hat x, \hat p\hat H\) sont des opérateurs autoadjoints
\(\triangleright\) Anti-autoadjoints
Si \(A\) est anti-autoadjoint: \(\braket{Ax|y}=\braket{x|-Ay}\)
Alors l'autoadjoint est: \(B={{iA}}\)
